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Pruebas no paramétricas
Contraste de dos medianas

Se realizan dos muestras aleatorias simples de tamaños n y m cuyas variables son de naturaleza continua.

Los datos se presentan en una lista formada por dos vectores reales:

.

Es importante insistir en que no se acepta para la realización del test otra hipótesis que no sea la continuidad de la distribuciónes poblacionales, sin que éstas tengan que ser necesariamente normales.

Se quiere saber si las medianas de ambas muestras son iguales, por lo que la hipótesis nula que se contrasta es:

H0: "medx = medy",
frente a la alternativa:
H1: "medxmedy".

Tras juntar y ordenar ambas muestras de menor a mayor, llamamos med* a la mediana de los (n + m) datos así agrupados. Se define entonces el estadístico de contraste

A = # {xi: xi < med*},
es decir, el número de observaciones de la primera muestra que son menores que la mediana conjunta med*. Bajo la hipótesis H0 la variable A tiene una distribución hipergeométrica HP(N1, N2, n), siendo N1 = [(n + m)/2] la parte entera de la semisuma de los tamaños muestrales y N2 = n + m - N1.


Caso

Se ensayaron dos tratamientos antirreumáticos administrados al azar, sobre 10 y 22 pacientes, con referencia a una escala convencional (a mayor puntuación más eficacia), valorada después del tratamiento. Los resultados fueron:

Primer tratamiento (X):
12, 15, 21, 17, 38, 42, 10, 23, 35, 28

Segundo tratamiento (Y):
21, 18, 42, 25, 14, 52, 65, 40, 43, 35,
18, 56, 29, 32, 44, 15, 15, 68, 41, 37,
43, 58

Se desea saber si ambos tratamientos producen resultados diferentes.

Al contar el número de valoraciones del tratamiento X que quedan por debajo de la mediana conjunta, med = 33.5, da como resultado el estadístico de contraste A = 7. Si esta cantidad fuese grande, sería indicio de que X es peor que Y, y por lo tanto ambos diferentes; si A fuese pequeño, X sería mejor que Y, otra vez diferentes. El criterio para decidir si son iguales requiere el uso de la distribución hipergeométrica. En este caso, parece que no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula y mantenemos que los tratamientos dan resultados similares. Para completar este análisis, es necesario añadir que la probabilidad que se obtiene para este valor del estadístico está muy cerca del límite de la región crítica, por lo que otros contrastes pueden rechazar la hipótesis que se pone a prueba; en casos como éste conviene proceder con cautela antes de tomar decisiones sobre la efectividad de los tratamientos.

(Fuente: C. M. Cuadras. Problemas de Probabilidades y Estadística. PPU, Barcelona.)

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